2023年山東專升本高等數學Ⅰ考試大綱

本科目考試要求考生掌握高等數學的基本概念、基本理論和基本方法， 主要考查考生識記、理解、計算、推理和應用能力，為進一步學習奠定基 礎。具體內容與要求如下：

一、函數、極限與連續

( 一 ) 函數

1.理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值，會建立應 用問題的函數關系。

2.掌握函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。          

3.理解分段函數、反函數和復合函數的概念。              

4.掌握函數的四則運算與復合運算。                      

5.掌握基本初等函數的性質及其圖形，理解初等函數的概念。

( 二 ) 極限

1.理解數列極限和函數極限(包括左極限和右極限)的概念。理解函數 極限存在與左極限、右極限存在之間的關系。

2.理解數列極限和函數極限的性質。 了解數列極限和函數極限存在的 兩個收斂準則(夾逼準則與單調有界準則)。熟練掌握數列極限和函數極限 的運算法則。

3.熟練掌握兩個重要極限，并會用它們求極限。

4.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量 與無窮大量的關系。會比較無窮小量的階(高階、低階、同階和等價)。會 用等價無窮小量求極限。

( 三 ) 連續

1.理解函數連續性 (包括左連續和右連續) 的概念，掌握函數連續與 左連續、右連續之間的關系。會求函數的間斷點并判斷其類型。

2.掌握連續函數的四則運算和復合運算。理解初等函數在其定義區間 內的連續性。

3.會利用連續性求極限。

4.掌握閉區間上連續函數的性質 (有界性定理、最大值和最小值定理、 介值定理、零點定理)，并會應用這些性質解決相關問題。

二、一元函數微分學

( 一 ) 導數與微分

1.理解導數的概念及幾何意義，會用定義求函數在一點處的導數 (包 括左導數和右導數)。會求平面曲線的切線方程和法線方程。理解函數的可 導性與連續性之間的關系。

2.熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，熟練掌握基 本初等函數的導數公式。

3.掌握隱函數求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求 導法，會求分段函數的導數。

4.理解高階導數的概念，會求函數的高階導數。

5.理解微分的概念，理解導數與微分的關系，掌握微分運算法則，會 求函數的一階微分。

( 二 ) 中值定理及導數的應用

1.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理， 了解柯西中值定理和泰勒中值 定理。會用羅爾定理和拉格朗日中值定理解決相關問題。

2.熟練掌握洛必達法則，會用洛必達法則求型未定式的極限。

3.理解駐點、極值點和極值的概念，掌握用導數判斷函數的單調性和 求函數極值的方法，會利用函數的單調性證明不等式，掌握函數最大值和 最小值的求法及其應用。

4.會用導數判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點以及水平漸近線與垂直漸近線。

三、一元函數積分學

( 一 ) 不定積分

1.理解原函數與不定積分的概念， 了解原函數存在定理，掌握不定積 分的性質。

2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。

4.掌握簡單有理函數的不定積分的求法。

( 二 ) 定積分

1.理解定積分的概念及幾何意義， 了解可積的條件。

2.掌握定積分的性質及其應用。

3.理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。 

4.熟練掌握定積分的換元積分法與分部積分法。                 

 5.會用定積分表達和計算平面圖形的面積、旋轉體的體積。       

6. 了解反常積分的概念。

四、向量代數與空間解析幾何

( 一 ) 向量代數

1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示法，會求單位向量、 方向余弦、向量在坐標軸上的投影。

2.掌握向量的線性運算，會求向量的數量積與向量積。        

3.會求兩個非零向量的夾角，掌握兩個向量平行、垂直的條件。

( 二 ) 平面與直線

1.會求平面的點法式方程、一般式方程。會判斷兩平面的位置關系(垂 直、平行 )。

2.會求點到平面的距離。

3.會求直線的對稱式方程、一般式方程、參數式方程。會判斷兩直線 的位置關系 (平行、垂直)。

4.會判斷直線與平面的位置關系 (垂直、平行、直線在平面上)。

五、多元函數微積分學

( 一 ) 多元函數微分學

1.理解二元函數的概念、幾何意義及二元函數的極限與連續的概念， 會求二元函數的定義域。

2.理解二元函數偏導數和全微分的概念，理解全微分存在的必要條件 和充分條件。掌握二元函數的一階、二階偏導數的求法，會求二元函數的 全微分。

3.掌握復合函數一階、二階偏導數的求法。

4.掌握由方程F(x, y, z) = 0 所確定的隱函數z = z(x, y) 的一階偏導數的計 算方法。

5.會求二元函數的無條件極值。

( 二 ) 二重積分                                   

1.理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。          

2.掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

六、無窮級數

( 一 ) 數項級數

1.理解數項級數收斂、發散的概念。掌握收斂級數的基本性質，掌握 級數收斂的必要條件。

2.掌握幾何級數、調和級數與p 級數的斂散性。

3.掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法。

4.掌握交錯級數收斂性的萊布尼茨判別法。

5.理解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念。

( 二 ) 冪級數

1.理解冪級數的概念，會求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域。 

2.掌握冪級數在其收斂區間內的性質(和、差、逐項求導與逐項積分)。 

3.掌握冪級數的和函數在其收斂域上的性質。

4.會利用逐項求導和逐項積分求冪級數的和函數。

5.熟記的麥克勞林級數，會將一些簡單的初等函數展開為的冪級數。

七、常微分方程

( 一 ) 一階微分方程

1.理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和 特解等概念。

2.掌握可分離變量微分方程的解法。

3.掌握一階線性微分方程的解法。

( 二 ) 二階線性微分方程

1.理解二階線性微分方程解的結構。

2.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

Ⅱ. 考試形式與題型范圍

一、考試形式

考試采用閉卷、筆試形式。試卷滿分 100 分，考試時間 120 分鐘。 

二、題型范圍

選擇題、填空題、判斷題、計算題、解答題、證明題、應用題。